Rhyfeddod rhif
Un o ryfeddodau’r Cread

Dathlu Diwrnod Pai Cymru: 14 Mawrth

Mae’n debyg mai’r Groegwr Archimedes (tua 400 CC) oedd un o’r rhai cyntaf i geisio deall sut i ddadansoddi siapiau crwm: cylch, sffêr, côn ac ati. Un diwrnod, wrth dynnu lluniau cylchoedd yn y tywod, sylwodd fod y pellter o amgylch cylch – ei gylchedd – ychydig dros deirgwaith ei ddiamedr. Sylwodd hefyd nad yw’r gymhareb hon yn dibynnu ar faint y cylch. Yr un yw’r gymhareb wrth fesur modrwy ag wrth fesur y lleuad, sef rhif sydd ychydig yn fwy na 3. Y rhif hwn – ‘3 ac ychydig yn fwy’ – yw’r rhif sy’n cael ei alw heddiw yn π ond doedd gan Archimedes ddim symbol ffurfiol i’w gynrychioli.

Sut i fynd ati i ddarganfod yr ‘ychydig yn fwy’ oedd y cwestiwn a boenai Archimedes. I wneud hynny byddai angen dadansoddi siapiau crwm, siapiau a oedd y tu hwnt i gyrraedd mathemateg y Groegiaid. Gweledigaeth Archimedes oedd canfod ffordd wreiddiol o amcangyfrif y ‘3 ac ychydig yn fwy’.

Dangosodd Archimedes fod yr ‘ychydig’ yn llai na’r ffracsiwn 1/7 ac yn fwy na’r ffracsiwn 10/71. Ffracsiynau oedd dull y Groegiaid o weithio gyda rhifau; aeth canrifoedd lawer heibio cyn y daeth degolion i fri. Roedd dangos bod π yn llai na 3¹/₇ ac yn fwy na 3¹⁰/₇₁ yn dipyn o gamp.

Mae’r disgrifiad yn yr Hen Destament o godi Palas Solomon yn Jerusalem tua’r cyfnod 800 CC, rhyw bedair canrif cyn cyfnod Archimedes yng ngwlad Groeg, yn cynnwys y mesuriadau hyn o ‘fasn anferth’ crwn: Yna dyma fe’n gwneud basn anferth i ddal dŵr. Roedd hwn wedi’i wneud o bres wedi’i gastio, ac yn cael ei alw ‘Y Môr’. Roedd yn bedwar metr a hanner ar draws o un ochr i’r llall, dros ddau fetr o ddyfnder ac un deg tri metr a hanner o’i hamgylch. (1 Brenhinoedd 7, 23; beibl.net) Cylchedd y basn yw 13.5 metr, sydd union deirgwaith diamedr y basn, 4.5 metr. Mae fel petai gwneuthurwyr y basn wedi cymryd gwerth π yn 3, a bod hynny’n ddigon agos ati i bob pwrpas ymarferol yn y cyd-destun hwn.

Felly yr arhosodd pethau am flynyddoedd lawer. Os byddech yn holi oedolion heddiw beth yw gwerth π, yr atebion mwyaf cyffredin – ar wahân i ‘does gen i ddim syniad’ – fyddai 22/7 neu 3¹/₇ fel ffracsiwn neu 3.14 fel degolyn. Roedd hi’n arferol tan yn ddiweddar i weld cyfarwyddyd i ddisgyblion ar ben papurau arholiad i ddefnyddio 22/7 fel gwerth π. Nid yw’n syndod, felly, i bobl gymryd mai’r 3¹/₇ hwn yw’r ‘3 ac ychydig yn fwy’, heb sylweddoli mai amcangyfrif gwreiddiol Archimedes ddwy fil a hanner o flynyddoedd yn ôl oedd hynny. Wrth ysgrifennu 3¹/₇ fel degolyn cawn 3.1428… sydd ddim ond yn cyfateb i wir werth π i ddau le degol – dim ond y digidau 3, 1 a 4 sy’n gywir.

‘Draw, draw yn Tsieina’ tua’r flwyddyn OC 500 darganfyddodd Zu Chongzhi ffracsiwn sy’n agosach o lawer at werth π nag yw 22/7. Y ffracsiwn rhyfeddol hwnnw yw 355/113. Gwerth 355/113 fel degolyn yw 3.14159292…, sy’n cytuno â gwerth π i chwe lle degol, ac felly mae’r ffracsiwn yn dipyn nes ati na 22/7. At ddibenion ymarferol bob dydd, mae 355/113 yn ateb y diben i’r dim, a hwn a ddefnyddir yn aml gan beirianwyr electronig mewn rhaglenni cyfrifiadurol er mwyn cyfrifo gwerth π yn fras ac yn gyflym. Ond un peth ydy bodloni peirianwyr; peth arall ydy bodloni mathemategwyr sy’n mynnu cywirdeb llawer llymach.

Erbyn cyfnod Isaac Newton (1643–1727) roedd mathemategwyr – Newton ei hun yn Lloegr a Gottfried Wilhelm Leibnitz yn yr Almaen – wedi dechrau datblygu technegau mathemateg cwbl newydd (y calcwlws) a agorodd y llifddorau i ddadansoddi pob math o broblemau, gan gynnwys effaith disgyrchiant, a chyfrinachau symudiadau’r planedau, y lloer a’r sêr. Fel cyfaill Newton ac un a’i cynorthwyodd i gyhoeddi ei waith, roedd William Jones (1674–1749), un o feibion Môn, wedi meistroli’r technegau newydd hyn. Sylwodd Jones nad oedd π yn cyfateb i unrhyw ffracsiwn – nid i 22/7 nac i 355/113 nac i unrhyw ffracsiwn arall. Gwelodd hefyd fod π, fel y degolyn 3.14159…, yn mynd ymlaen ac ymlaen am byth. Yn ei lyfr Synopsis palmariorum matheseos, ysgrifennodd Jones, ‘. . . the exact proportion between the diameter and the circumference can never be expressed in numbers.’ Dyna oedd camp William Jones a dyna pam y penderfynodd ddewis symbol arbennig i gynrychioli’r rhif.

Arwydd o boblogrwydd y rhif π yw’r cynnydd mewn diddordeb ynddo, nid yn unig gan fathemategwyr proffesiynol, ond gan bawb sy’n ymddiddori mewn rhifau. Ers 1988 mae 14 Mawrth wedi cael ei ddynodi’n ddiwrnod rhyngwladol i ddathlu π. Larry Shaw gychwynnodd yr arferiad yn San Francisco ar sail patrwm Americanwyr o ysgrifennu’r dyddiad â’r mis yn gyntaf. Felly, 14 Mawrth yw 3/14 yn y patrwm hwn, a gwerth π i ddau le degol yw 3.14 (tri pwynt un pedwar). Ym mis Mawrth 2009, cytunodd Tŷ’r Cynrychiolwyr, Unol Daleithiau America, i ddynodi 14 Mawrth fel Diwrnod Pai, i’w ddathlu’n rhyngwladol. Ers hynny mae’r diwrnod wedi ysgogi mwy a mwy o weithgareddau, yn arbennig mewn ysgolion a cholegau, a llawer o fwyta peis amrywiol eu cynnwys! I gydnabod y cysylltiad Cymreig, dynodwyd 14 Mawrth yn Ddiwrnod Pai Cymru gan Lywodraeth Cymru yn 2015.

Camp sydd wedi denu sylw poblogaidd yw ceisio cofio cynifer â phosibl o ddigidau π. I ddathlu Diwrnod Pai Cymru yn 2015, aeth llond bws o blant Ysgol Gynradd Llanfechell (pentref ysgol William Jones) i stesion Llanfairpwllgwyngyll, a ailfedyddiwyd yn ‘Llanfair π G’ am y diwrnod. Ymysg eu gweithgareddau yno, gyda chamerâu’r cyfryngau yn eu ffilmio, adroddodd y plant tua 20 o ddigidau π ar eu cof ac roedd ambell un ohonynt yn gallu adrodd hyd at ryw 30 digid. Roedd yn gryn gamp, platfform y stesion wedi’i droi yn llwyfan eisteddfodol a’r plant yn cynorthwyo’i gilydd i gofio pob manylyn.

Clywir straeon am gamp unigolion yn cofio llawer mwy o ddigidau π, a thasg Guinness World Records yw gwirio’r honiadau gorchestol hynny gan ofalu bod swyddogion yn bresennol i gadw cofnod ffurfiol o’r canlyniadau. Y pencampwr presennol am gofio’r nifer mwyaf o ddigidau π yw Rajveer Meena, myfyriwr 21 oed a adroddodd 70,000 o ddigidau ym Mhrifysgol VIT, Vellore, yn yr India ar 21 Mawrth 2015 dros gyfnod o ddeg awr â mwgwd dros ei lygaid. Honnir bod myfyriwr yn Siapan wedi adrodd 111,700 o ddigidau, ond nid yw’r honiad hwnnw wedi cael ei gadarnhau dan amodau’r Guinness World Records.

Un sydd wedi cael ei swyno gan y rhif π a’i ddigidau ac a ddisgrifiodd y profiad hwnnw’n drawiadol iawn yw Daniel Tammet, llenor o Lundain sydd â’r ddawn arbennig o gofio rhifau. Ymhell wedi iddo adael yr ysgol roedd cyfaredd π yn parhau i’w ddenu. ‘Roedd y digidau wedi sleifio’n llechwraidd i’m cof,’ meddai, ac aeth ati’n fwriadol ac yn drefnus i geisio cofio myrdd ohonynt. Yn 2004, yn 24 oed, rhoddodd Tammet ei gof ar brawf yn gyhoeddus ar bnawn 14 Mawrth – Diwrnod Pai, wrth gwrs – yn Amgueddfa Gwyddoniaeth Rhydychen. Dychmygwch yr olygfa:

Mae’r adeilad yn llawn, pawb yn gwrando’n astud ar Tammet yn adrodd rhesi o ddigidau un ar ôl y llall, y tempo’n gyson ond mae’n arafu o dro i dro fel petai’n chwilio am ysbrydoliaeth cyn ailgyflymu. ‘Hwnt ac yma ni allaf lai na sylwi ar ambell ddeigryn,’ meddai. ‘Does neb wedi eu rhybuddio y gallai’r rhifau eu cyffwrdd. Ond maent yn ildio’n llawen i’w llif.’ Am bum awr a naw munud ymwelodd tragwyddoldeb â’r amgueddfa, dawns y digidau’n cyfareddu’r gynulleidfa wrth greu patrymau di-batrwm, y digidau’n ymgiprys am flaenoriaeth. Erbyn y diwedd mae Tammet wedi adrodd 22,514 o ddigidau. Mae’r cyfan yn cael ei wireddu cyn i’r arolygwyr gadarnhau bod hynny’n record Ewropeaidd newydd. Yn union fel diweddglo cyngerdd o gerddoriaeth glasurol, mae’r dorf yn ymdawelu am ennyd cyn dangos eu cymeradwyaeth a diflannu wedyn i niwloedd diwedd pnawn strydoedd y ddinas gyda digidau π yn eu dilyn yn llechwraidd yr holl ffordd adref.

Mae’r rhif π wedi cydio yn nychymyg mathemategwyr yn ogystal ag artistiaid a llenorion. Mae hefyd wedi cydio yn nychymyg plant. Rhan o gyfaredd π yw sut y mae bwrlwm di-drefn ei ddigidau yn gallu codi o syniad mor syml ac mor berffaith â chylch.

Cawn ein cyffroi gan y byd o’n cwmpas a’n rhyfeddu gan liwiau enfys, gan batrwm pluen eira, gan dân gwyllt mellt a tharanau, a chan gyfrinachau’r lloer a’r sêr. Ond wrth gael ein rhyfeddu gan ddigidau π mae’r rhyfeddod hwnnw yn gwbl wahanol gan mai ffrwyth dychymyg dyn yw π: rhif nad oes neb wedi’i weld, rhif sydd y tu hwnt i’n hymdrechion i’w gofnodi’n llawn.

Cafodd y gynulleidfa yn Rhydychen eu cyffwrdd gan eu profiad a oedd, i rai, yn brofiad ysbrydol, os nad yn un crefyddol.

Cychwynnodd π ei fywyd fel cymhareb di-nod ond mae bellach yn eicon diwylliannol i’r holl fyd. Y rhif hwn yw draig goch ein mathemateg.

Gareth Ffowc Roberts

(Addasiad gan yr awdur o ran o bennod yn ei lyfr Cyfri’n Cewri a gyhoeddir gan Wasg Prifysgol Cymru ym mis Gorffennaf 2020.)